A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & tanx \\ -tanx & 1 \end{matrix} \right] \) எனில் A^TA^-1 = \(\left[ \begin{matrix} cos2x & -sin2x \\ sin2x & cos2x \end{matrix} \right] \) எனக் காட்டுக.

ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட மாத ஊதியத்தில் ஒரு பணியில் அமர்த்தப்படுகிறார். ஒவ்வொரு ஆண்டும் ஒரு நிலையான ஊதிய உயர்வு அவருக்கு வழங்கப்படுகிறது. 3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ரூ.19,800 மற்றும் 9 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ரூ.23,400 எனில் அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் மற்றும் ஆண்டு உயர்வு எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க).

பின்வரும் அணிகளுக்குச் சேர்ப்பு அணி காண்க:
\(\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)

z = 2 + 3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களை ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z, iz, மற்றும் z + iz

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 5 - 12i மற்றும் z₃ = 6 + 8i எனில் \(\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { z }_{ 3 } \right| ,\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } \right| ,\left| { z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| \) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

z³ + 2\(\bar { z } \) = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஐந்து தீர்வுகள் இருக்கும் என நிறுவுக

z = (cos θ + i sin θ) எனில், \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \)= 2 cos nθ மற்றும் \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \)= 2i sin nθ என நிறுவுக.

z = 5 - 2i மற்றும் wi=−1 +3i எனக்கொண்டு கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.
(z + w)².

ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\)) = 1

p என்பது ஒரு மெய்யெண் எனில் 4x²+4px+p+2=0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையை p-ன் அடிப்படையில் ஆராய்க.

2x³ +11x² − 9x −18 = 0என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

x²+px+q=0 மற்றும் x²+p'x+q' =0 ஆகிய இரு சமன்பாடுகளுக்கும் ஒரு பொதுவான மூலம் இருப்பின், அம் மூலம் \(\frac { pq'-p'q }{ q-q' } \) அல்லது \(\frac { q-q' }{ p'-p } \) ஆகும் எனக்காட்டுக.

பின்வரும் முப்படி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:
8x³ − 2x² − 7x + 3 = 0

6x²<1 எனில், tan^-1 2x+tan^-13x =\(\frac{\pi}{4}\), ஐ தீர்க்க 

தீர்க்க:
\(2{ \tan }^{ -1 }x={ \cos }^{ -1 }\frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } -{ \cos }^{ -1 }\frac { 1-{ b }^{ 2 } }{ 1+{ b }^{ 2 } } ,a>0,b>0\)

முனை (-1,-2), அச்சு y-அச்சுக்கு இணை மற்றும் (3,6) வழிச்செல்லும் பரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.

பின்வரும் சமன்பாடுகளின் கூம்பு வளைவின் வகையைக் கண்டறிந்து அவற்றின் மையம், குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் இயக்குவரைகளைக் காண்க. \( \frac { { (x-3) }^{ 2 } }{ 225 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 289 } =1\)

பின்வரும் சமன்பாடுகளின் கூம்புவளைவின் வகையைக் கண்டறிந்து அவற்றின் மையம், குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் இயக்குவரைகள் காண்க :\( \frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } =1\)

a\(\hat { i }\)+a\(\hat { j }\)+c\(\hat { k }\), \(\hat { i }\)+\(\hat { k }\) மற்றும் c\(\hat { i }\)+c\(\hat { j }\)+b\(\hat { k }\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில், a மற்றும் b ஆகியவற்றின் பெருக்குச் சராசரி c ஆகும் என நிரூபிக்க.

\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-1 }{ 4 }\) மற்றும் \(\frac { x-3 }{ 1 } =\frac { y-m }{ 2 } =z\) என்ற கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும் எனில், m -ன் மதிப்பைக் காண்க.

முக்கோணம் ABC-ல், B , CCA மற்றும் AB என்ற பன்ற பக்கங்களின் மை மையப்புள்ளிகள் முறையே D,E,F எனில், \(\Delta \)DEF  -ன் பரப்பு=\(=\frac { 1 }{ 4 } \Delta ABC \)-ன் பரப்பு) என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.

x - 1 = \(\frac { y }{ 2 } \) = z + 1 என்ற கோடும் 2x - y + 2z = 2 என்ற தளமும் சந்திக்கும் புள்ளியைக் காண்க மேலும், இக்கோட்டிற்கும் தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தையும் காண்க.

y = sinx என்ற வளைவரைக்கும் மிகை x -அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.

x²-y² = r² மற் றும் xy = c² என்ற வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் எனக்காட்டுக. இங்கு c, r ஆகியவை மாறிலிகள்.

ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x -ன் எம்மதிப்புகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x -அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்?
\(f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x+2}, x\in [-1,6]\)

கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு மெக்லாரனின் விரிவைக் காண்க:
\(\log(1-x); -1\le x<1\)

கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு அறுதி மதிப்புகளை காண்க.
f(x) = 3x⁴-4x³ ; [-1,2]

பனிக்கட்டியிலான ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 10 செமீ. அதன் ஆரம் 10 செமீலிருந்து 9.8 செமீ-ஆக குறைகின்றது. பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்பினைக் காண்க:
(i) கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்

புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட ஒரு நகரத்தின் வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கையின் (ஆயிரங்களில்) அதிகரிப்பு V (t) = 30 +12t² - t³ ,0\(\le \)t \(\le \)8 என்பதால் மதிப்பிடப்படுகின்றது. இங்கு t என்பது ஆண்டுகளை குறிக்கின்றது. காலம் 4-இலிருந்து 4\(\frac { 1 }{ 6 } \) வருடமாக இருக்கும் போது ஏற்படும் தோராய வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றத்தைக் காண்க.

g(x,y) = x log \(\left( \frac { { y } }{ x } \right) \) என்ற சார்பு சமபடித்தானது என நிறுவுக; g -ன் படியைக் கணக்கிட்டு, g -க்கு ஆய்லரின் தேற்றத்தைச் சரிபார்க்க.

மதிப்பிடுக : \(\int ^{a}_{0} \frac{f{x}}{f{x}+f(a-x)}\) dx.

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக
 \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) sin⁶ 2x dx

y = tan x, y = cot x மற்றும் கோடுகள் x = 0 , x  =  2 , y = 0  \(x=\frac { \pi }{ 2 } ,y=0\)ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.

முனை (0,−1) மற்றும் y -அச்சை அச்சாகவும் கொங்ணட பரவளையக் குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

பொருளின் இருப்பின் பெருக்கமானது அதில் காணப்படும் பொருளின் இருப்பின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாக அமைந்துள்ளது. பொருளின் இருப்பு 50 ஆண்டுகளில் இரு மடங்காகிறது எனில், எத்தனை ஆண்டுகளில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகும்?

மகன் மற்றும் மகளுக்கு சமவாய்ப்பு நிகழ்தகவுகள் எனக் கருதி 4 குழந்தைகள் கொண்ட ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள மகள்களின் எண்ணிக்கைக்கு நிகழ்தகவு நிறை சார்பினையும் குவிவு பரவல் சார்பினையும் காண்க.

ஓர் ஈருறுப்பு சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் சராசரி மற்றும் திட்ட விலக்கம் முறையே 6 மற்றும் 2 ஆகும். (i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு (ii) P (X = 3) (iii) P (X ≥ 2) ஆகியவற்றைக் காண்க.

கீழே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரண்டு கூற்றுகள் p மற்றும் q -க்கு பின்வருபவைகளை எழுதுக.
எதிர்மறைக் கூற்று
p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது
q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது