A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \) என்பது செங்குத்து அணி எனி a, b மற்றும் c களின் மதிப்பைக் காண்க. இதிலிருந்து A⁻¹-ஐக் காண்க.

\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்பது பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை அணி எனக்காட்டுக மற்றும் இவ்வணியை தொடக்க நிலை உருமாற்றங்கள் மூலம் அலகு அணியாக மாற்றுக.

பின்வரும் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையதா என்பதை ஆராய்க. ஒருங்கமைவு உடையதாயின் அவற்றைத் தீர்க்க.
(i) x − y + 2z = 2, 2x + y + 4z = 7, 4x − y + z = 4
(ii) 3x + y + z = 2, x − 3y + 2z =1, 7x − y + 4z = 5
(iii) 2x + 2y + z = 5, x − y + z =1, 3x + y + 2z = 4
(iv) 2x − y + z = 2, 6x − 3y + 3z = 6, 4x − 2y + 2z = 4

px + by + cz = 0, ax + qy + cz = 0, ax + by + rz = 0 என்ற சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு வெளிப்படையற்றத் தீர்வு பெற்றுள்ளது மற்றும் p ≠ a, q ≠ b, r ≠ c, எனில் \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q }{ q-b } +\frac { r }{ r-c } \) = 2 என நிறுவுக.

z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) \) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z-ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x - 2y = 0 எனக்காட்டுக.

x³+ax²+bx+c=0 எனும் முப்படிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் வர்க்கங்களை மூலங்களாகக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குக.

மதிப்பு காண்க.
(i) cos^-1 \((-\frac{1}{\sqrt2})\)
ii) cos^-1\((\cos(-\frac{\pi}{3}))\)
iii) cos^-1\((\cos(\frac{7\pi}{6}))\)

(1,1),(2,-1), மற்றும் (3,2) என்ற மூன்று புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

4x² + 36y² + 40x − 288y + 532 = 0 என்ற கூம்பு வளைவின் குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் அதன் நெட்டச்சு, குற்றச்சு நீளங்களைக் காண்க.

ஒரு நீரூற்றில், ஆதியிலிருந்து 0.5மீ கிடைமட்டத் தூரத்தில் நீரின் அதிகபட்ச உயரம் 4மீ, நீரின் பாதை ஒரு பரவளையம் எனில் ஆதியிலிருந்து 0.75மீ கிடைமட்டத் தூரத்தில் நீரின் உயரத்தைக் காண்க.

1.2 மீ நீளமுள்ள தடி அதன் முனைகள் எப்போதும் ஆய அச்சுகளைத் தொட்டுச் செல்லுமாறு நகருகின்றது. தடியின் x-அச்சு முனையிலிருந்து 0.3மீ தூரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி P-ன் நியமப்பாதை ஒரு நீள்வட்டம் என நிறுவுக, மேலும் அதன் மையத்தொலைத்தகவும் காண்க.

ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைநோக்கியில் பரவளைய பிரதிபலிப்பான் மற்றும் அதிபரவளைய பிரதிபலிப்பான் இரண்டும் உள்ளது. படத்தில் உள்ள தொலைநோக்கியில் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 14மீ உயரத்தில் உள்ள F₁ என்ற அதிபரவளையத்தின் ஒரு குவியம் பரவளையத்தின் குவியமாகவும் உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் இரண்டாவது குவியம் F₂ பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 2மீ உயரத்தில் உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் முனை F₁-க்கு 1மீ கீழே உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் மையத்தை ஆதியாகவும் குவியங்களை y-அச்சிலும் கொண்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.

(2,2,1), (9,3,6) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லக்கூடியதும் 2x+6y+6z=9 என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தாக அமைவதுமான தளத்தின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } ,\hat { b } =\hat { i } -4\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { j } -\hat { k } \)மற்றும் \(\vec { d } =2\hat { i } +5\hat { j } +\hat { k } \) எனில்
(i) \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \vec { d } \)
(ii) \(\left( \vec { a } \right) \times \left( \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { b } -\left[ \vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { a } \)

s(t) = 2t³-9t²+12t-4, இங்கு t ≥ 0 எனும் விதிப்படி ஒரு கோட்டில் ஒரு துகள் நகர்கிறது.
(i) எந்நேரங்களில் துகளின் திசை மாறுகின்றது?
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் என்ன?
(iii) திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும் நேரங்களில் எல்லாம் துகளின் முடுக்கம் காண்க?

y = x²+3x-2 என்ற வளை வரைக்கு (1, 2) என்ற புள்ளியில் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

கீழ்க்காணும் எல்லைகளை , தேவைப்படும் இடங்களில் லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்தி காண்க :
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)

இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையை பயன்படுத்தி இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க.
 f(x) = x² e^-2x

கீழ்க்காணும் சார்புகளை வரைக:
 y = x \(\sqrt { 4-x } \)

u(x,y,z) = xy² z³, x = sin t, y= cos t, z= e^2t எனில் \(\frac { du }{ dt } \) -ஐக் காண்க

மதிப்பிடுக : \(\int ^{\pi}_{-\pi} \frac{cos ^2 x}{1+ a^x}\) dx

x ² + y ² = a ²  என்ற வட்டத்தில் உள்ள அரங்கத்தின் பரப்பை x = h  என்ற கோடு இரு பகுதிகளாக பிரிக்கின்றது எனில் சிறிய பகுதியின் பரப்பைக்  காண்க.

ஒரு கொள்கலன் (container) ஆனது நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டம் (frustum of a cone) வடிவில் படம் -ல் உள்ளவாறு அமைந்துள்ளது எனில் அதன் கனஅளவைத் தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.

ஒரு வளைவரையின் சாய்வு \(\frac { y-1 }{ { x }^{ 2 }+x } \) ஆகும். வளைவரை (1, 0) எனும் புள்ளி வழிச் செல்லுமெனில், அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
2xydx + (x² + 2y²) dy = 0 

பின்வரும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
\(xsinx\frac { dy }{ dx } +(xcosx+sinx)y=sinx\)

ஒரு துப்பறிவாளர் ஒரு கொலைக்கான புலன் விசாரணையின்பொது, ஒருவரின் உயிரற்ற உடலை சரியாக பிற்பகல் 8 மணிக்கு காண்கிறார். முன்னெச்சரிக்கையாக துப்பறிவாளர் அவ்வுடலின் வெப்பநிலையை அளந்து 70⁰F எனக் குறித்துக் கொள்கிறார். 2 மணி நேரம் கழித்து அந்த உடலின் வெப்பநிலை 60⁰F ஆக இருப்பதைக் காண்கிறார். உடல் இருந்த அறையின் வெப்பநிலை 50⁰F ஆகும். மற்றும் இறப்பதற்கு முன்பு அந்நபரின் உடல் வெப்பநிலை 98.6⁰F எனில், அந்நபர் கொலை செய்யப்பட்ட நேரம் என்னவாக இருந்திருக்கும்?
[log (2.43) = 0.88789; log(0.5) = -0.69315]

வருடத்திற்கு 5% தொடர் கூட்டு வீதத்தில் ஒருவர் ரூபாய் 10,000 -த்தை வங்கிக் கணக்கில் முதலீடு செய்கிறார். 18 மாதங்களுக்குப் பின்னர் அவர் வங்கிக் கணக்கில் எவ்வளவு தொகை இருக்கும்?

ஒரு பாத்திரத்தில் 100⁰C வெப்பநிலையில் கொதித்துக் கொண்டிருக்கும் நீரானது t = 0 எனும் நேரத்தில் அடுப்பின் மீது இருந்து இறக்கி குளிர்வதற்காக சமையலறையில் வைக்கப்படுகிறது. 5 நிமிடங்களுக்குப் பிறகு நீரின் வெப்பநிலை 80⁰C ஆகக் குறைகிறது. மேலும், அடுத்த 5 நிமிடங்களுக்குப் பிறகு நீரின் வெப்பநிலை 65⁰C ஆக குறைகிறது எனில், சமையலறையின் வெப்பநிலையைக் காண்க.

ஓர் அறுபக்க பகடையின் ஒரு பக்கத்தில் ‘1’ எனவும், இரு பக்கங்களில் ‘3’ மூன்று எனவும், மற்றும் ஏனைய மூன்று பக்கங்களில் ‘5’ எனவும் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. பகடை இருமுறை வீசப்படுகிறது. இருமுறை வீசப்பட்டதின் மொத்த எண்ணிக்கையை X குறிக்கிறது.
i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
ii) குவிவு பரவல் சார்பு
iii) P(4 ≤ X<10)
iv) P(X ≥ 6)

என்பது சமவாய்ப்பு மாறி X -இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f(x) எனில் (i) பரவல் சார்பு F(x) (ii) P(1.5≤ X ≤ 2.5) ஆகியவற்றைக் காண்க.

8 வெள்ளை மற்றும் 4 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கூடையிலிருந்து இரு பந்துகள் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு கருப்பு பந்துக்கும் ரூ. 20 வெல்லும் தொகையாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு வெள்ளை பந்துக்கும் ரூ.10 தோற்கும் தொகையாகவும் கருதுக. எதிர்பார்க்கப்படும் வெல்லும் தொகை மற்றும் பரவற்படி காண்க.

\(M=\left\{ \left( \begin{matrix} x \\ x \end{matrix}\begin{matrix} x \\ x \end{matrix} \right) :x\epsilon R-\{ 0\} \right\} \) என்க. * என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க. * ஆனது M –ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில், ∗ ஆனது M -ன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்புகளையும் நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.