A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \) எனில், A²-3A-7I₂ = O₂ எனக்காட்டுக. இதன் மூலம் A^-1 காண்க.

ஒரு ராக்கெட்டின் மேல் நோக்கிய வேகம் t நேரத்தில் தோராயமாக (v(t) = at² + bt + c என்றவாறு உள்ளது. இங்கு 0≤t≤100 மற்றும் a, b, c என்பன மாறிலிகள். ராக்கெட்டின் வேகம் t = 3, t = 6 மற்றும் t = 9 வினாடிகளில் முறையே 64, 133, மற்றும் 208 மைல்கள்/வினாடி எனில் t = 15 வினாடியில் அதன் வேகத்தைக் காண்க. (காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்துக).

பின்வரும் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையதா என்பதை ஆராய்க. ஒருங்கமைவு உடையதாயின் அவற்றைத் தீர்க்க.
(i) x − y + 2z = 2, 2x + y + 4z = 7, 4x − y + z = 4
(ii) 3x + y + z = 2, x − 3y + 2z =1, 7x − y + 4z = 5
(iii) 2x + 2y + z = 5, x − y + z =1, 3x + y + 2z = 4
(iv) 2x − y + z = 2, 6x − 3y + 3z = 6, 4x − 2y + 2z = 4

காஸ்ஸீயன் நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி C₂H₆ + O₂ ⟶ H₂O + CO₂ என்ற வேதியியல் எதிர்வினைச் சமன்பாட்டை சமநிலைப்படுத்துக.

\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }=-\sqrt { 3 } \) எனக்காட்டுக.

2x³ − 6x² + 3x + k = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற இரு மூலங்களின் கூடுதலின் இரு மடங்கு எனில், k-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

முதன்மை மதிப்பு காண்க.
cosec^-1(-1)

4x² + 36y² + 40x − 288y + 532 = 0 என்ற கூம்பு வளைவின் குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் அதன் நெட்டச்சு, குற்றச்சு நீளங்களைக் காண்க.

பொறியாளர் ஒருவர் குறுக்கு வெட்டு பரவளையமாக உள்ள ஒரு துணைக்கோள் ஏற்பியை வடிவமைக்கின்றார். ஏற்பி அதன் மேல்பக்கத்தில் 5மீ அகலமும், முனையிலிருந்து குவியம்
1.2 மீ தூரத்திலும் உள்ளது.
(a) முனையை ஆதியாகவும், x-அச்சு பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சாகவும் கொண்டு ஆய அச்சுகளைப் பொருத்தி பரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.
(b) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் காண்க.

1.2 மீ நீளமுள்ள தடி அதன் முனைகள் எப்போதும் ஆய அச்சுகளைத் தொட்டுச் செல்லுமாறு நகருகின்றது. தடியின் x-அச்சு முனையிலிருந்து 0.3மீ தூரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி P-ன் நியமப்பாதை ஒரு நீள்வட்டம் என நிறுவுக, மேலும் அதன் மையத்தொலைத்தகவும் காண்க.

A, B என்ற இரு புள்ளிகள் 10கி.மீ இடைவெளியில் உள்ளன. இந்தப் புள்ளிகளில் வெவ்வேறு நேரங்களில் கேட்கப்பட்ட வெடிச்சத்தத்திலிருந்து வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் A என்ற புள்ளி Bஎன்ற புள்ளியைவிட 6 கி.மீ அருகாமையில் உள்ளது என நிர்ணயிக்கப்பட்டது. வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவரைக்கு உட்பட்டது என நிரூபித்து அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

பின்வருவனவற்றிகான முனை, குவியம், இயக்குவரையின் சமன்பாடு மற்றும் செவ்வகல நீளம் காண்க:
 x²-2x+8y+17=0

(6,7,4) மற்றும் (8,4,9) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோடு xz மற்றும் yz தளங்களை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்க.

\(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற கோட்டை உள்ளடக்கியதும் \(\vec { r } .(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )=8\) என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின், துணையலகு வடிவ வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } ,\hat { b } =\hat { i } -4\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { j } -\hat { k } \)மற்றும் \(\vec { d } =2\hat { i } +5\hat { j } +\hat { k } \) எனில்
(i) \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \vec { d } \)
(ii) \(\left( \vec { a } \right) \times \left( \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { b } -\left[ \vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { a } \)

\(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டரைக் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியை \(\vec { r } .\left( \hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \right) =38\)என்ற தளத்தில் காண்க.

கப்பலின் மீதுள்ள சூழலொளி விளக்கு ஒவ்வொரு 10 வினாடிகளுக்கு ஒரு முறை சுற்றுகிறது. கடற்கரையிலிருந்து 5 கி.மீ தூரத்தில் கப்பல் நங்கூரமிடப்பட்டுள்ளது. அவ்விளக்கின் ஒளிக்கற்றை கடற்கரையுடன் 45° கோணத்தை ஏற்படுத்தும் போது கடற்கரையில் ஒளிக்கற்றை எவ்வளவு வேகமாக நகரும்?

y = x²+3x-2 என்ற வளை வரைக்கு (1, 2) என்ற புள்ளியில் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

மதிப்பிடுக : \(\underset{x \rightarrow1}{\lim} x^{\frac{1}{1-x}}\).

கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு ஓரியல்பு இடைவெளிகளைக் கணக்கிட்டு அதிலிருந்து இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க:
\(f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\log x\)

நம்மிடம் 12 சதுர அலகுகள் பரப்புடைய மெல்லிய தகடு உள்ளது மற்றும் வெளிப்புறத்தின் மூலைகளிலிருந்து சிறிய சதுரங்களை வெட்டி பக்கங்களை மடிப்பதன் மூலம் திறந்த பெட்டியை உருவாக்க விரும்புகிறோம். கேள்வி என்னவென்றால், எந்த வெட்டு அதிகபட்ச கன அளவை உருவாக்கும்?

ஒரு விவசாயி ஒரு நதியை ஒட்டிய செவ்வக மேய்ச்சல் நிலத்திற்கு வேலி அமைக்க திட்டமிட்டுள்ளார். மந்தைகளுக்கு பொதுமான புல் வழங்க மேய்ச்சல் நிலம் 1,80,000 சதுர மீட்டர் பரப்பளவு இருக்க வேண்டும். ஆற்றின் குறுக்கே வேலி அமைக்கத் தேவையில்லை. வேலி அமைக்க தேவையான குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் என்ன?

கீழ்க்காணும் சார்புகளை வரைக:
 y = \(\frac { 1 }{ { 1+e }^{ -x } } \)

பின்வரும் சார்புகளுக்கு f_x, f_y காண்க. மேலும் f_xy = f_yxஎனக் காட்டுக.
 f(x,y) =\(\frac { 3x }{ y+\sin x } \)

V(x,y) = e^x( x cos y- y sin y) எனில் \(\frac { { \partial }^{ 2 }V }{ { \partial x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }V }{ { \partial y }^{ 2 } } \)=0 என நிறுவுக.

W(x, y, z) = xy + yz + zx, x = u − v, y = uv, z = u + v, u,v ∈ R எனில் \(\frac { \partial W }{ \partial u } \),\(\frac { \partial W }{ \partial v } \) காண்க மற்றும்\(\left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right) \) இல் அவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.

\(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{ sin ^4x +cos ^4 x}\) = \(\frac{\pi}{4}\) என நிறுவுக

பின்வரும் வரையறுத்த  தொகையிடல்களை, தொகையிடலின்  பண்புகளைப்  பயன்படுத்தி மதிப்பு  காண்க:
\(\int ^{\pi}_{0} x [sin^2 (sin x) + cos ^2 (cos x)]\) dx

கோடுகள் 5x - 2y = 15, x + y + 4 = 0  மற்றும் x-அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை தொகையிடல் மூலம் காண்க.

ஆரம் r மற்றும் உயரம் h உடைய கோள வடிவ  தொப்பியின்  கன அளவைக் காண்க.

மதிப்பிடுக:\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x+7 }{ { 5x }^{ 2 }+9 } dx } \)

ஒரு வளைவரையின் சாய்வு \(\frac { y-1 }{ { x }^{ 2 }+x } \) ஆகும். வளைவரை (1, 0) எனும் புள்ளி வழிச் செல்லுமெனில், அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
\({ ye }^{ \frac { x }{ y } }dx=\left( { xe }^{ \frac { x }{ y } }+y \right) dy\)

பின்வரும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
\(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ (1-x)\sqrt { x } } =1-\sqrt { x } \)

ஒரு நகரத்தின் மக்கள் தொகை வளர்ச்சி வீதம் t நேரத்தில் உள்ள மக்கள் தொகையின் விகிதமாக அமைந்துள்ளது. மேலும் நகரத்தின் மக்கள் தொகை 40 ஆண்டுகளில் 3,00,000 லிருந்து 4,00,000 ஆக அதிகரித்துள்ளது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனில், t நேரத்தில் அந்நகரத்தின் மக்கள் தொகையைக் காண்க.

ஆரம்பத்தில் ஒரு தொட்டியில் 50 லிட்டர் தூய்மையான தண்ணீர் உள்ளது. தொடக்க நேரம் t = 0 -ல் ஒரு லிட்டர் ஒரு லிட்டர் நீரில் 2 கிராம் வீதம் கரைக்கப்பட்ட உப்புக் கரைசலானது ஒரு நிமிடத்திற்கு 3 லிட்டர் வீதம் தொட்டியில் விடப்படுகிறது. இக்கலவையானது தொடர்ந்து கலக்கப்பட்டு சீராக வைக்கப்படுகிறது. மேலும், அதே நேரத்தில் நன்கு கலக்கப்பட்ட இக்கலவையானது அதே வீதத்தில் தொட்டியிலிருந்து வெளியேறுகிறது. t > 0 எனும் ஏதேனும் ஒரு நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவினைக் காண்க.

ஓர் அறுபக்க பகடையின் ஒரு பக்கத்தில் ‘1’ எனவும், இரு பக்கங்களில் ‘3’ மூன்று எனவும், மற்றும் ஏனைய மூன்று பக்கங்களில் ‘5’ எனவும் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. பகடை இருமுறை வீசப்படுகிறது. இருமுறை வீசப்பட்டதின் மொத்த எண்ணிக்கையை X குறிக்கிறது.
i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
ii) குவிவு பரவல் சார்பு
iii) P(4 ≤ X<10)
iv) P(X ≥ 6)

சமவாய்ப்பு மாறி X -யின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு,
 எனில்
(i) பரவல் சார்பு F(x) (ii) P(−0.5 ≤ X ≤ 0.5) காண்க.

\(M=\left\{ \left( \begin{matrix} x \\ x \end{matrix}\begin{matrix} x \\ x \end{matrix} \right) :x\epsilon R-\{ 0\} \right\} \) என்க. * என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க. * ஆனது M –ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில், ∗ ஆனது M -ன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்புகளையும் நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.