ஒரு வட்ட வடிவ தகட்டின் ஆரம் 12.65 செமீ-க்குப் பதிலாக 12.5 செமீ என அளக்கப்படுகின்றது எனில் அதன் பரப்பு கணக்கிடுவதில் பின்வருவனவற்றை காண்க:
(i) தனிப்பிழை

பனிக்கட்டியிலான ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 10 செமீ. அதன் ஆரம் 10 செமீலிருந்து 9.8 செமீ-ஆக குறைகின்றது. பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்பினைக் காண்க:
(i) கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்

பின்வரும் சார்புகளுக்கு வகையீடு dy காண்க
y = ( 3 + sin(2 x))^2/3

ஒரு வட்ட வடிவத் தகடு வெப்பத்தினால் சீராக விரிவடைகின்றது என்க. அதன் ஆரம் 10.5 செ மீ-இலிருந்து 10.75 செ.மீ-ஆக அதிகரிக்கும் போது அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய அதிகரிப்பு மற்றும் தோராய சதவீத அதிகரிப்பு ஆகியவற்றைக் காண்க.

பின்வரும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் காண்க.
(iii) h(x, y, z) = x sin(xy) + z² x, \(\left( 2,\frac { \pi }{ 4 } ,1 \right) \\ \)

If U(x, y, z) = log(x³ + y³ + z³ ), எனில் \(\frac { { \partial }U }{ { \partial x } } +\frac { { \partial }U }{ { \partial y } } +\frac { { \partial }U }{ { \partial z } } \) -ஐக் காண்க.

w(x, y) + xy + sin(xy) எனில் \(\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial y\partial x } } +\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial y }\partial x } \) என நிறுவுக.

v(x, y, z) = x³ + y³ + z³ +3xyz எனில் \(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ { \partial y\partial z } } +\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ z\partial y } \) என நிறுவுக.

w(x, y) = x³ − xy + 2y² , x, y ∈ R எனில் (1,−1) இல் w-ன் நேரியல் தோராய மதிப்பு காண்க.

சார்பு u(x,y) = x² y +3xy⁴ ,x = e^t மற்றும் y = sin t, எனில் \(\frac { du }{ dt } \) -ஐக் காண்க மேலும் t = 0 -ல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.

u(x,y,z) = xy² z³, x = sin t, y= cos t, z= e^2t எனில் \(\frac { du }{ dt } \) -ஐக் காண்க

z(x, y) = x³ - 3x² y3 என்க. இங்கு x = se^t , y = se^−t , s,t ∈ R.\(\frac { \partial z }{ \partial s } \) மற்றும் \(\frac { \partial z }{ \partial t } \) -ஐக் காண்க.

பின்வரும் ஒவ்வொரு சார்பும் சமபடித்தானதா இல்லையா எனக்கண்டு சமபடித்தானது எனில் அதன் படியையும் காண்க.
(iii) g(x,y,z) = \(\frac { \sqrt { 3{ x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ 4x+7y } \)

v(x,y) = log\(\left( \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \right) \), எனில் \(x\frac { \partial v }{ \partial x } +y\frac { \partial v }{ \partial y } =1\) என நிறுவுக.

w(x,y,z) = log\(\left( \frac { { 5x }^{ 2 }+{ y }^{ 4 }+7{ y }^{ 2 }x{ z }^{ 4 }-75{ y }^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) \), எனில் \(x\frac { \partial w }{ \partial x } +y\frac { \partial w }{ \partial y } +z\frac { \partial w }{ \partial z } \) -ஐக் காண்க.