\(\vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } \) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 8 கன அலகுகள் எனில், \((\vec { a } \times \vec { b } )\times (\vec { b } \times \vec { c } )\times (\vec { b } \times \vec { c } )\times (\vec { c } \times \vec { a } )\) மற்றும் \((\vec { c } \times \vec { a } )\times (\vec { a } \times \vec { b } )\) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில்  சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக்  கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு _______.

\(\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { \gamma } \) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் அமைந்துள்ளது எனில் _______.

\(\vec { a } .\vec { b } =\vec { b } .\vec { c } =\vec { c } .\vec { a } =0\) எனில் \(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \) ன் மதிப்பு _______.

\(\vec { r } =(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )+t(2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\) என்ற கோட்டிற்கும் \(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j) } \)+4 = 0 என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் _______.

ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து 3x 6y + 2z + 7 =0 என்ற தளத்திற்கு உள்ள தொலைவு _______.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன \(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\cfrac { \vec { b } +\vec { c } }{ \sqrt { 2 } } \) எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று வெக்டர்கள் எனில்,\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் _______.

-6\(\hat { i }\)+14\(\hat { j }\)+10\(\hat { k }\), 14\(\hat { i }\)-10\(\hat { j }\)-6\(\hat { k }\) மற்றும் 2\(\hat { i }\)+4\(\hat { j }\)-2\(\hat { k }\) என்ற வெக்டர்களால் குறிப்பிடப்படும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளைக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கனஅளவைக் காண்க.

\(4\hat { i }+3\hat { j }-7\hat { k }\) என்ற வெக்டரை நிலை வெக்டராகக் கொண்ட புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(2\hat { i }-6\hat { j }+7\hat { k }\) என்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணை அலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு, மற்றும் கார்ட்டீசியன் சன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ,2\hat { i } -\hat { 3 } +2\hat { k } \) மற்றும் \(3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \) ஆகிய வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும் என நிரூபிக்க.

\(\vec { r } =(2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } )+t(\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } )\) என்ற கோட்டிற்கும் 2x-y+z=5 என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.

ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலை விட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இருசமக்கூறிடும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.

\(\vec { a }\), \(\vec { b }\), \(\vec { c }\) என்ற ஒரு தளம் அமையா மூன்று வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் திண்மத்தின் கன அளவு 4 கன அலகுகள் எனில் \(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\left( \vec { b } +\vec { c } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +\left( \vec { c } +\vec { a } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right)\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

\(\vec { r } =(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )+t(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) மற்றும் \(\frac { x-2 }{ 1 } =\frac { y-4 }{ 2 } =\frac { z+3 }{ 4 } \) என்ற கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி வழியாகச் செல்வதும், மற்றும் இவ்விருகோடுகளுக்கும் செங்குத்தானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்க.

\(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டரைக் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியை \(\vec { r } .\left( \hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \right) =38\)என்ற தளத்தில் காண்க.