\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில் \(\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { b } \right] \) ன் மதிப்பு _______.

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -5\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } +5\hat { j } -\hat { k } \) எனில்,\(\vec { a } \) -க்குச் செங்குத்தானதாகவும் \(\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \)  என்ற வெக்டர்கள் உருவாக்கும் தளத்தில் அமைவதுமான வெக்டர் _______.

ஒரு கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள் \(\frac { 1 }{ c } ,\frac { 1 }{ c } ,\frac { 1 }{ c } \) எனில், _______.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன \(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] =3\) எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் எனில்,\(\left\{ \left[ \vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } \right] \right\} ^{ 2 }\) ன் மதிப்பு _______.

ஆதியிலிருந்து \(2x+3y+\lambda z=1\),\(\lambda >0\) என்ற தளத்திற்கு வரை வரையப்படும்  செங்குத்தின் நீளம் \(\frac { 1 }{ 5 } \) எனில் \(\lambda \) -ன் மதிப்பு _______.

\(3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் z - அச்சுக்கு இடையேயான கோணம் 

\(\overset { \rightarrow }{ a } ,\overset { \rightarrow }{ b } ,\overset { \rightarrow }{ c } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து அலகு வெக்டர்கள் எனில் \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right| \) என்பது _________________

\(\vec { a } ,\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) ஏதேனும் மூன்று வெக்டர் \((\vec { a } +\vec { b } ).(\vec { b } +\vec { c } )|\times (\vec { c } +\vec { a } )\)

\(\vec { u } ,\vec { v } ,\vec { w } \) எனுமாறு வெக்டர்கள் \(\vec { u } +\vec { v } +\vec { w } =\vec { 0 } \) என்க. \(|\vec { u } |=3,|\vec { v } |=4,|\vec { w } |=5\) எனில் \(\vec { u } .\vec { v } +\vec { v } .\vec { w } +\vec { w } .\vec { u } \) என்பது ______ 

எண்ணளவுகள் முறையே 1, 1, 2 உடைய வெக்டர்கள் \(\vec { a } .\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) என்க. \(\vec { a } \times (\vec { a } \times \vec { c } )+\vec { b } \) = 0 எனில் \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) க்கு இடையேயான குறுங்கோணம்

\(\vec { a }\)=2\(\hat { i }\)+3\(\hat { j }\)-\(\hat { k }\), \(\vec { b }\)=3\(\hat { i }\)+5\(\hat { j }\)+2\(\hat { k }\), \(\vec { c }\)=-\(\hat { i }\)-2\(\hat { j }\)+3\(\hat { k }\), எனில்
(i) \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } =\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } -\left( \vec { b } .\vec { c } \right) \vec { a }\) 
(ii) \(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left( \vec { a } .\vec { c } \right) \vec { b } -\left( \vec { a } .\vec { b } \right) \vec { c }\) என்பவற்றைச் சரிபார்க்க.

\(2\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } ,\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } \) மற்றும் \(3\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \) என்ற வெக்டர்களை ஒரு முனையில்  சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கனஅளவினைக் காண்க.

\(\frac { x-3 }{ -4 } =\frac { y-4 }{ -7 } =\frac { z-3 }{ 12 } \) என்ற கோடு 5x - y + z = 8 என்ற தளத்தில் அமையுமா எனச்சரிபார்க்க

A (3, -1, 2), B(1, -1, -3) மற்றும் C(4, -3, 1) ஆகிய உச்சிகளையுடைய முக்கோணத்தின் பரப்பை காண்க.

தளங்கள் \(\vec { r } .(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\) = 7 மற்றும் \(\vec { r } .(\lambda \hat { i } +\hat { j } -7\hat { k } )=26\) செங்குத்து எனில் λ ன் மதிப்பை காண்க

ஓர் இருசமப்பக்கமுக்கோணத்தின் அடிப்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் நடுக்கோடு, அப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாகும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.

\(\vec { a }\) = \(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\), \(\vec { b }\) = \(\hat { i }\) மற்றும் \(\vec { c }\) = c₁\(\hat { i }\)+c₂\(\hat { j }\)+c₃\(\hat { k }\) என்க. c₁ = 1 மற்றும்  c₂ = 2 எனில், \(\vec { a }\), \(\vec { b }\), \(\vec { c }\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாக இருக்குமாறு c₃ -ன் மதிப்பினைக் காண்க.

A (7,2,1), B (6,0,3), மற்றும் C (4,2,4) என்பன \(\Delta\)ABC -ன் உச்சிகள் எனில், \(\angle\)ABC -ஐக் காண்க.

ஒரு நேர்க்கோடு (1,2,3) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது \(4\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } \)மற்றும்  என்ற வெக்டருக்கு இணையாக உள்ளது எனில், அக்கோட்டின்
(i) துணை அலகு வெக்டர் சமன்பாடு
(ii) துணை அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு
(iii) கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

நான்கு புள்ளிகளின் நிலை வெக்டர்கள் \(6\hat { i } -7\hat { j } \), \(16\hat { i } -29\hat { j } -4\hat { k } \), \(3\hat { i } -6\hat { j } \) ஒரு தளம் அமைவன எனக்காட்டுக.

(3,6,-2),(-1,-2,6) மற்றும் (6,-4,-2) ஆகிய ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் துணையலகு, துணையலகு அல்லாத வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\left| \overset { \rightarrow }{ A } \right| =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \wedge }{ i } =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு வெக்டர்கள் எனில் \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\) என்ற சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் B யைக் காண்க.

(1, 1, -1) வழிச்செல்லும் மற்றும் தளங்கள் x + 2y +3z - 7 = 0 மற்றும் 2x - 3y + 4z = 0 க்கு செங்குத்து தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை காண்க.